Rätselthread 4

[Daemon Llanddcairfyn]

Über Radius und Höhe wissen wir ja nichts. Darin zeigt sich die Allgemeinheit des Problems.
Übrigens habe ich von einer bayrischen Gymnasiastin die Formel ableiten lassen, da kommt nichts weiter als eine gestauchte Parabel raus. Da steckt also wohl noch ein Fehlerchen drin, denn die Parabel hat ihr Minimum immer bei Null und einen Zylinder mit einem Radius=0 zu drechseln wird schwierig.

[Arc-en-ciel]

Nichts ist unmgöglich ... Aber die Höhe ist ja mit einem Meter angegeben.

[Daemon Llanddcairfyn]

[quote]
Max Sinister schrieb am 11.10.2005 um 23:24 :
... Am Ende schnitt er den Kegel in der Hälfte durch (wenn er vorher 1 Meter hoch war, wären es anschließend 50 Zentimeter) und ...
[/quote]

Das habe ich nicht als feste Angabe, sondern eher als Veranschaulichung interpretiert.

[ Diese Nachricht wurde geändert von: Daemon Llanddcairfyn am 12.10.2005 um 18:14 ]

[Arc-en-ciel]

Stimmt, ist wohl logischer ... dann ließe sich auch das fehlen des Radiusses erklären. Also lässt das sich das Problem mit jeglichen Werten lösen. Demnach müsste man auf die Frage, wo man abschneiden müsste, mit Prozentzahlen der Gesamtgröße antworten.

[Kaffetrinken]

Wenn ich mich nicht irre wäre der maximale Gewinn bzw. minimale Verlust bei einer Zylinderhöhe von 38,19661 % der Kegelhöhe erreicht.

Toller erster Post hier im Forum

[Daemon Llanddcairfyn]

Wenn er jetzt noch richtig ist, bist du ein Held ;o)

[Thetis]

statt mit Kegel und Zylinderformeln is es vielleicht einfacher mit Dreieck und Rechteck...nur so als Tip.

[Daemon Llanddcairfyn]

Die Graphen habe ich wohl zweidimensional angelegt. Aber durch die unterschiedlichen Radien der Grundflächen dürfte man es nicht wirklich einfach so lösen, nicht? Da ginge doch eine Menge Raum bei verloren.

[Thetis]

Den Radius hast Du doch bei dem Rechteck. Die Hälfte einer Seite.

[Daemon Llanddcairfyn]

Aber der Radius des Kegels wird ja wohl ein anderer sein, oder willst du einen ganz, ganz, ganz flachen Zylinder herausbekommen?

[Aglaranna]

Ich würde viele flache Zylinder oder einen hohen und einen flachen daraus machen.

[Aglaranna]

Oder ich suche jemanden, der mir das Gold einschmilzt, zwei Zylinder daraus gießt und teile mit ihm den Gewinn. Dann habe ich gar keinen "Abfall"

[Daemon Llanddcairfyn]

Aber selbst die mehreren Zylinder kannst du optimieren ;o)

[Aglaranna]

Also lasse ich nur einen Zylinder gießen und schaffe alle Mitwisser aus dem Weg.

[Rincewind-a]

Aha. Abituraufgabe: einem Kegel einbeschriebener Zylinder. Laaaaaaaaaaaaange her. Wenn man bedenkt, dass ich so was mal konnte tstst..grübel weiter über die Lösung.

[Max Sinister]

1. Es darf nur ein Zylinder draus gemacht werden, das ist eine Dreherei, keine Schmelze.
2. Ja, funktioniert mit dem Zylinder in den Kegel einbeschrieben.
3. Die Höhe habe ich auch eher als Beispiel mit 1 Meter angegeben; aber bleiben wir ruhig dabei. Wer das Rätsel lösen will, muss die Höhe angeben, die herauskommt (bei einer Kegelhöhe von 1 Meter).

[Arc-en-ciel]

Muss der Kegel nicht bei 1/3 seiner Größe abgeschnitten werden?

[Daemon Llanddcairfyn]

Ich hätte eher auf 2/3 getippt.

[Arc-en-ciel]

Ich meine 1/3 von unten aus, also bei 0,33333333333 ... Metern

[Rincewind-a]

Denke das arc en ciel recht hat...ein drittel der Höhe von unten ergibt das größte Volumen.

[Rincewind-a]

Archimedes wurde bei Einnahme Syrakus im Jahre 212 von einem römischen Soldaten erschlagen. Er soll in seinen mathematischen Studien vertieft gewesen sein; seine letzten Worte waren ?Noli turbare circulos meos? (störe meine Kreise nicht). Cicero berichtet, dass sein Grabmal eine kleine Säule zierte, auf dessen Spitze sich ein Zylinder mit einbeschriebener Kugel befand als Symbol für die Entdeckung, auf die er besonders stolz war, nämlich der Bestimmung des Verhältnisses der Volumina und Oberflächen dieser beiden Körper.

[Dorwagor]

Hilfe, immer diese Mathematik....

[Arc-en-ciel]

Bin jetzt 2 Wochen weg, wenn sich also meine Antwort bis zum 28.10. als richtig erweisen sollte, geb ich ab. Danach bin ich wieder da.

[Max Sinister]

OK, hier jetzt die Lösung:

Betrachten wir mal einen Querschnitt des Kegels. Dieser entspricht zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken aneinandergelegt. Ein Zylinder hat einen rechtwinkligen Querschnitt, also sieht das Problem so aus: Wie schreibe ich ein möglichst großes Rechteck in ein rechtwinkliges Dreieck (das auf der Kathete steht) ein?

Wir können uns leicht vorstellen, dass sich das Problem nicht grundsätzlich ändert, wenn wir den Kegel breiter oder schmaler machen - die Höhe des optimalen Zylinders bliebe gleich. Also können wir das einfachste Beispiel nehmen, einen Kegel mit Höhe = Radius = 1 Meter.

Das maximale einbeschriebene Rechteck finden wir dann, indem wir die Formel für seine Fläche nehmen, und die ist im Beispiel gleich:

Höhe * (Radius - Höhe) ² * Pi.

Dann leiten wir nach der Höhe ab und finden das Maximum der Funktion. Und dieses liegt bei ...

1/3 der Höhe. Arc-en-ciel hat recht gehabt. Und gibt damit ab. Wer will als nächster?

[ Diese Nachricht wurde geändert von: Max Sinister am 19.10.2005 um 16:13 ]

[Bodo]

Äh... schlagt mich, aber ich hätte jetzt schwer behauptet, das zylinder und kegel kreisförmige Querschnitte haben - wovon du redest sind Quader und Pyramide.... oder bin ich jetzt vollkommen aus der Gemeinschaft der lose mit der Realität assoziierten ausgeschieden ?!?


EDIT: Ah, ich glaub langsam dämmerts mir - du sprichst von einem Längsschnitt, oder?

[ Diese Nachricht wurde geändert von: Bodo am 19.10.2005 um 18:32 ]